Μαθήματα:

Ας ξεκινήσουμε με το παρακάτω τυπολόγιο που συνοψίζει τη χρήση όλων των τύπων της συνδυαστικής:

κλικ στην εικόνα για μεγέθυνση
ή κλικ εδώ για να κατεβάσετε το αρχείο σε εκτυπώσιμη μορφή .pdf

Συνοπτική παρουσίαση της θεωρίας και πάρα πολλά παραδείγματα μπορείτε να βρείτε εδώ.

• Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν 4 βιβλία μαθηματικών, 3 βιβλία φυσικής, 2 βιβλία χημείας και 2 βιβλία βιολογίας.
• (i) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν τα 11 βιβλία στο ράφι;

Οι τρόποι που μπορούν να μπουν τα 11 βιβλία σε σειρά είναι 11! (πρόκειται για μεταθέσεις 11 αντικειμένων).

• (ii) Ποια είναι η πιθανότητα να τοποθετηθούν πρώτα στο ράφι τα 4 βιβλία των μαθηματικών και τελευταία τα 3 βιβλία της φυσικής;

Ο πιο απλός τρόπος είναι απλώς να μετρήσουμε: Πρώτα τα 4 βιβλία των μαθηματικών με 4! τρόπους. Έπειτα, για κάθε έναν από αυτούς τους τρόπους, 4 βιβλία βιολογίας και χημείας με 4! τρόπους. Τέλος, για κάθε έναν από αυτούς τους τρόπους, 3 βιβλία φυσικής με 3! τρόπους.
Μπρούμε να το δούμε και αλλιώς, ως συνέχεια του πρώτου ερωτήματος: πρώτα απ'όλα, ο δειγματικός μας χώρος εξακολουθεί να είναι οι 11! μεταθέσεις των 11 αντικειμένων. Επειδή στον δειγματικό χώρο έχουμε υπολογίσει τις 4! μεταξύ τους μεταθέσεις των 4ων βιβλίων μαθηματικών και τις 3! μεταθέσεις των 3ων βιβλίων φυσικής, πρέπει να τις υπολογίσουμε και στις ευνοϊκές περιπτώσεις (ή αλλιώς να διαιρέσουμε το 11! με 3!4! ώστε να αντιστοιχίσουμε όλους αυτούς τους διαφορετικούς τρόπους σε έναν, τα "πακεταρισμένα" βιβλία φυσικής και μαθηματικών, όπως το αντιλαμβάνεται καθείς, είναι ακριβώς το ίδιο, το 11! και το γινόμενο 3!4! διαιρούνται). Στη μέση βρίσκονται άλλα 4 βιβλία τα οποία μπορούν να διαταχθούν με 4! τρόπους. Συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι:  \(\rm \frac{4!4!3!}{11!}\)  .

• (iii) Ποια είναι η πιθανότητα όλα τα βιβλία της ίδιας θεματικής ενότητας να τοποθετηθούν μαζί;

Στα "πακεταρισμένα" βιβλία κάθε θεματικής ενότητας μας νοιάζει η μεταξύ τους σειρά, οπότε όλες τις εσωτερικές αναδιατάξεις κάθε θεματικής ενότητας πρέπει να τις συμπεριλάβουμε στις ευνοϊκές περιπτώσεις (για το τι συμπεριλαμβάνουμε στις ευνοϊκές περιπτώσεις, πάντα οδηγό μας έχουμε τον δειγματικό χώρο). Άρα από τις μεταξύ τους μεταθέσεις θα έχουμε στον αριθμητή: 4!2!2!3! και επειδή τα τέσσερα πακέτα μπορούν να διαταχθούν με 4! τρόπους, έχουμε συνολικά 4!4!2!2!3! τρόπους, συνεπώς η πιθανότητα είναι:  \(\rm \frac{4!4!2!2!3!}{11!}\)  .

• (iv) Τρία βιβλία επιλέγονται τυχαία από το ράφι χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγεί τουλάχιστον ένα βιβλίο μαθηματικών ή τουλάχιστον ένα βιβλίο βιολογίας;

Η συμπληρωματική πιθανότητα είναι κανένα βιβλίο να μην είναι μαθηματικών ή βιολογίας. Αυτό μπορεί να συμβεί με πιθανότητα  \(\rm \frac{5}{11}\)  στην πρώτη προσπάθεια,  \(\rm \frac{4}{10}\)  στη δεύτερη και  \(\rm \frac{3}{9}\)  στην τρίτη προσπάθεια. Οπότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι:  \(\rm 1-\frac{5\cdot4\cdot3}{11\cdot10\cdot9}\) 
Βλέπουμε, δηλαδή, πως το συμπληρωματικό ενδεχόμενο του "τουλάχιστον ένα" είναι το "κανένα" και είναι πολύ ευκολότερο να το υπολογίσουμε!

• Στο ποδοσφαιρικό πρωτάθλημα μίας χώρας συμμετέχουν 16 ομάδες: 6 από την πρωτεύουσα, 8 από την υπόλοιπη ηπειρωτική χώρα και 2 από τη νησιωτική χώρα. Οι 3 πρώτες της τελικής κατάταξης παίζουν στο Champions League και οι 4 επόμενες στο κύπελλο UEFA της επόμενης χρονιάς.
• (i) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καταταχθούν οι ομάδες ώστε η πρώτη να είναι από την πρωτεύουσα, η δεύτερη από την υπόλοιπη ηπειρωτική χώρα και η τρίτη από τη νησιωτική χώρα;

Μας ζητάει την κατάταξη των 16 ομάδων, δηλαδή διάταξη 16 διακεκριμένων στοιχείων με συγκεκριμένο τρόπο. Ξεκινάμε την αρίθμηση:
Στην πρώτη θέση θα βρίσκεται μία από τις 6 ομάδες τις πρωτεύουσας άρα η θέση αυτή καλύπτεται με 6 διαφορετικούς τρόπους. Για κάθε έναν από αυτούς (πολλαπλασιαστική αρχή) η δεύτερη θέση θα καλυφθεί με με 8 διαφορετικούς τρόπους, για κάθε έναν από τους οποίους η τρίτη θέση θα καλυφθεί με 2 τρόπους. Τις υπόλοιπες 13 θέσεις θα τις καταλάβουν οι ομάδες που απομένουν με 13! τρόπους (μεταθέσεις 13 στοιχείων). Τελικά οι τρόποι κατάταξης των ομάδων ώστε η πρώτη να είναι από την πρωτεύουσα, η δεύτερη από την υπόλοιπη ηπειρωτική χώρα και η τρίτη από τη νησιωτική χώρα είναι: \(\rm 6\cdot8\cdot2\cdot13!\) 

• (ii) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καταταχθούν οι ομάδες ώστε στις 3 πρώτες θέσεις να βρίσκεται μία ομάδα από κάθε περιοχή της χώρας;

Η απάντηση προκύπτει άμεσα από το παραπάνω ερώτημα, αν υπολογίσουμε επιπλέον τις μεταθέσεις των τριών πρώτων θέσεων. Άρα οι τρόποι κατάταξης των ομάδων ώστε στις 3 πρώτες θέσεις να βρίσκεται μία ομάδα από κάθε περιοχή της χώρας είναι:  \(\rm 3!\cdot6\cdot8\cdot2\cdot13!\) 

• (iii) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καταταχθούν οι ομάδες ώστε να βρίσκονται 3 ομάδες από την πρωτεύουσα στις 3 πρώτες θέσεις και 4 ομάδες από την υπόλοιπη ηπειρωτική χώρα στις επόμενες 4 θέσεις;

Βάσει των όσων σχολιάσαμε στο πρώτο ερώτημα, είναι προφανές ότι η αρίθμηση έχει ως εξής:
1η θέση: 6 τόποι. 2η θέση: 5 τρόποι. 3η θέση: 4 τρόποι. 4η θέση: 8 τρόποι. 5η θέση: 7 τρόποι. 6η θέση: 6 τρόποι. 7η θέση: 5 τρόποι. Υπόλοιπες θέσεις: 9! τρόποι. Άρα οι τρόποι κατάταξης των ομάδων ώστε να βρίσκονται 3 ομάδες από την πρωτεύουσα στις 3 πρώτες θέσεις και 4 ομάδες από την υπόλοιπη ηπειρωτική χώρα στις επόμενες 4 θέσεις είναι:  \(\rm 6\cdot5\cdot4\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot9!\) 

• (iv) Αν υποθέσουμε ότι όλες οι ομάδες είναι ισοδύναμες και συνεπώς όλες οι δυνατές κατατάξεις των ομάδων είναι το ίδιο πιθανές, ποιο από τα ενδεχόμενα που ορίστηκαν στα ερωτήματα (i), (ii) και (iii) είναι πιο πιθανό και ποια είναι η πιθανότητα του;

Προφανώς  \(\rm 6\cdot8\cdot2\cdot13!<3!\cdot6\cdot8\cdot2\cdot13!\) .
Έπειτα δείχνουμε ότι:  \(\rm \frac{3!\cdot6\cdot8\cdot2\cdot13!}{6\cdot5\cdot4\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot9!}>1\) , συνεπώς, αφού όλα τα ενδεχόμενα έχουν ως δειγματικό χώρο τις μεταθέσεις των 16 στοιχείων το πιθανότερο είναι το ενδρχόμενο του ερωτήματος (ii) με πιθανότητα:  \(\rm \frac{3!\cdot6\cdot8\cdot2\cdot13!}{16!}=\frac{6}{35}\) .

• Ένα τμήμα που παρακολουθεί μία Θεματική Ενότητα του ΕΑΠ αποτελείται από 25 φοιτητές: 10 φοιτητές είναι από την Αθήνα, εκ των οποίων 3 άνδρες και 7 γυναίκες, και 15 είναι από την υπόλοιπη χώρα, εκ των οποίων 7 άνδρες και 8 γυναίκες. Οι φοιτητές πρόκειται να υποβληθούν σε μία προφορική εξέταση, χωριστά ο καθένας. Για το λόγο αυτό κατατάσσονται σε τυχαία σειρά, με τρόπο που εξασφαλίζει ότι όλες οι «μεταθέσεις» τους είναι το ίδιο πιθανές.
• (i) Ποια είναι η πιθανότητα οι δύο φοιτητές που τοποθετούνται πρώτοι στη σειρά να είναι από την Αθήνα;

O δειγματικός μας χώρος είναι οι 25! μεταθέσεις των 25 φοιτητών. Αρχίζουμε την αρίθμηση των ευνοϊκών ενδεχομένων:
Η πρώτη θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 10 διαφορετικούς τρόπους, για κάθε έναν από τους οποίους (πολλαπλασιαστική αρχή) η δεύτερη θέση μπορεί να συυμπληρωθεί με 9 τρόπους. Οι υπόλοιποι 23 φοιτητές κατατάσσονται τυχαία με 23! τρόπους. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι:  \(\rm \frac{10\cdot9\cdot23!}{25!}=\frac{10\cdot9}{25\cdot24}=\frac{3}{20}\) .
B' τρόπος:
Παρατηρώντας το απλοποιημένο κλάσμα  \(\rm \frac{10\cdot9}{25\cdot24}\)  , παρατηρούμε πως -ΕΦΟΣΟΝ ΤΟ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ ΕΙΝΑΙ Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ- μπορούμε να κάνουμε αντίστοιχη απλοποίηση στο σκεπτικό μας κατά την αρίθμηση. Έτσι, μπορούμε να σκεφτούμε για τα ευνοϊκά ενδεχόμενα: η πρώτη θέση με 10 τρόπους, η δεύτερη με 9, οι υπόλοιπες 23 με τους υπόλοιπους τρόπους, ενώ για το δειγματικό χώρο: η πρώτη θέση με 25 τρόπους, η δεύτερη με 24 τρόπους, οι υπόλοιπες 23 με τους υπόλοιπους τρόπους.
Γ' τρόπος:
Βάσει του παραπάνω σκεπτικού θα μπορούσαμε να μετρήσουμε ως εξής: Στις δύο πρώτες θέσεις 2 Αθηναίοι, άρα ευνοϊκές περιπτώσεις οι συνδυασμού των 10 ανά 2 :  \(\rm \binom{10}{2}\)  και οι υπόλοιπες 23 θέσεις με τους υπόλοιπους τρόπους, ενώ ο δειγματικός χώρος θα είναι: οι συνδυασμοί όλων των φοιτητών ανά δύο  \(\rm \binom{25}{2}\)  και οι υπόλοιπες 23 θέσεις με τους υπόλοιπους τρόπους. Πάλι καταλήγουμε στην ίδια πιθανότητα.
ΠΡΟΣΟΧΗ:
(α) Οι παραπάνω μέθοδοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα γιατί το ζητούμενο είναι η πιθανότητα. Αν το ζητούμενο ήταν ΟΛΟΙ οι διαφορετικοί τρόποι ώστε... (πχ κατάταξη των 25 φοιτητών ώστε στις 2 πρώτες θέσεις να είναι Αθηναίοι) τότε υπάρχει μοναδική απάντηση ( \(\rm 10\cdot9\cdot23!\) )
(β) Προσέχουμε πάντα ευνοϊκές περιπτώσεις και δειγματικός χώρος να αντιστοιχούν στο ίδιο πράγμα. Μεταθέσεις για δειγματικό χώρο; Μεταθέσεις για ευνϊκά ενδεχόμενα. Συνδυασμοί για ευνοϊκά ενδεχόμενα; Συνδυασμοί για δειγματικό χώρο.

• (ii) Ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον ένας από τους δύο φοιτητές που τοποθετούνται πρώτοι στη σειρά να είναι από την Αθήνα;

Το ενδεχόμενο "τουλάχιστον ένας από τους δύο φοιτητές που τοποθετούνται πρώτοι στη σειρά να είναι από την Αθήνα" είναι συμπληρωματικό του ενδεχομένου "κανένας από τους δύο φοιτητές που τοποθετούνται πρώτοι στη σειρά να μην είναι από την Αθήνα". Αυτό σημαίνει ότι και οι δύο πρώτες θέσεις πρέπει να καλυφθούν από φοιτητές της υπόλοιπης χώρας, το οποίο γίνεται με  \(\rm 15\cdot14\)  τρόπους, ενώ όλα τα δυνατά ενδεχόμενα για την κάλυψη των δύο πρώτων θέσεων είναι:  \(\rm 25\cdot24\) . Άρα η πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου είναι:  \(\rm \frac{15\cdot14}{25\cdot24}=\frac{7}{20}\)  , συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι:  \(\rm 1-\frac{7}{20}=\frac{13}{20}\)  .

• \(\rm P(A)\geq0\)  και  \(\rm P(\varnothing)=0\) 
• Αν  \(\rm A\subseteqΒ\)  τότε  \(\rm P(Α)\leq P(Β)\) 
• \(\rm P(A')=1-P(A)\) 
• \(\rm P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)\) 
• \(\rm P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) 

Τα ενδεχόμενα \(\rm A\)  και  \(\rm Β\)  καλούνται ασυμβίβαστα αν είναι ξένα μεταξύ τους, δηλαδή αν:  \(\rm A\cap B=\varnothing\) 

“ Αν  \(\rm Α\)  και  \(\rm Β\)  δύο ενδεχόμενα με  \(\rm P(Β)>0\)  , τότε καλούμε δεσμευμένη πιθανότητα του  \(\rm Α\)  με δεδομένο το  \(\rm Β\)  το πηλίκο  \(\rm \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)  και συμβολίζουμε:  \(\rm P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)   ”

Η παραπάνω σχέση ερμηνεύεται εύκολα αν σκεφτούμε ότι η πληροφορία για την πραγματοποίηση του ενδεχόμενου Β περιορίζει τον δειγματικό χώρο Ω στα στοιχεία του Β και το ενδεχόμενο Α στα στοιχεία του Α\(\rm \cap\)Β.

Τα ενδεχόμενα \(\rm A\)  και  \(\rm Β\)  καλούνται ανεξάρτητα αν και μόνο αν  \(\rm P(A|B)=P(A)\) και  \(\rm P(Β|Α)=P(B)\) 

συνεπώς:

“ Δύο ενδεχόμενα  \(\rm Α\)  και  \(\rm Β\)  λέγονται ανεξάρτητα αν:  \(\rm P(A\cap B)=P(A)P(B)\)   ”

Ισχύουν:

• \(\rm P(B'|A)=1-P(B|A)\) 
• Αν  \(\rm A_{i}, i=1,...,v\)  ενδεχόμενα με  \(\rm P(Α_{1}\cap Α_{2}...\cap Α_{v-1})>0\)  τότε:  \(\rm P(Α_{1}\cap Α_{2}\cap...\cap Α_{v}) =\) \(\rm P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})...P(A_{v}|A_{1}\cap Α_{2}...\cap Α_{v-1})\) 

To παραπάνω καλείται "Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα" και αποδεικνύεται επαγωγικά.

• Αν  \(\rm A_{i}, i=1,...,v\)   ενδεχόμενα που αποτελούν διαμέριση του δειγματικού χώρου (ξένα ανά δύο και η ένωση τους είναι όλος ο χώρος) τότε για κάθε ενδεχόμενο  \(\rm Β\)  ισχύει:  \(\rm P(Β)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})P(B|A_{i})\) 

To παραπάνω καλείται "Θεώρημα ολικής πιθανότητας" και αποδεικνύεται πολύ εύκολα.

• Αν  \(\rm A_{i}, i=1,...,v\)   ενδεχόμενα που αποτελούν διαμέριση του δειγματικού χώρου, με  \(\rm P(Α_{i})>0\)  και  \(\rm Β\)  ενδεχόμενο με  \(\rm P(Β)>0\)  ισχύει:  \(\rm P(A_{i}|B)=\frac{P(A_{i})P(B|A_{i})}{\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})P(B|A_{i})}\) 

To παραπάνω καλείται "Θεώρημα του Bayes" και η απόδειξή του είναι άμεση βάσει των προηγούμενων δύο θεωρημάτων.

Ένα καλό παράδειγμα για να κατανοήσουμε τη χρήση του είναι το ακόλουθο:

Σε διαγώνισμα πολλαπλής επιλογής δίνονται, για κάθε ερώτηση, ν απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή. Αν ο εξεταζόμενος έχει, σύμφωνα με τις γνώσεις του, πιθανότητα p να γνωρίζει τη σωστή απάντηση, ποια η πιθανότητα να γνώριζε τη σωστή απάντηση με δεδομένο ότι απάντησε σωστά;

Θέτουμε Α το ενδεχόμενο ο εξεταζόμενος να γνωρίζει την απάντηση και Β το ενδεχόμενο να απαντήσει σωστά. Ζητάμε το ενδεχόμενο P(A|B).

Λάθος τρόπος:

Εφαρμογή του τύπου της δεσμευμένης πιθανότητας με λάθος τρόπο:  \(\rm P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)P( B)}{P(B)}=P(A)\)  . Τι παρανοήσεις έχουν γίνει; Έχουμε θεωρήσει τα ενδεχόμενα Α και Β ανεξάρτητα (αφού γράψαμε:  \(\rm P(A\cap B)=P(A)P( B)\) ), δίχως να είναι.

Δεύτερο πιθανό λάθος:

Δεν θεωρούμε ανεξάρτητα τα ενδεχόμενα Α και Β γράφοντας σωστά τον αριθμητή  \(\rm P(A)P(B|Α)\)  , αλλά στον παρονομαστή να βάλουμε κατευθείαν  \(\rm P(Β)=\frac{1}{v}\)  . To λάθος εδώ είναι πως ο εξεταζόμενος θα απαντήσει σωστά με πιθανότητα  \(\rm \frac{1}{v}\)  μόνο αν δεν γνωρίζει τη σωστή απάντηση, ενώ θα απαντήσει σωστά με πιθανότητα 1 αν την γνωρίζει. Έχουμε δηλαδή δύο διαφορετικά "σύμπαντα" τα οποία πρέπει να λάβουμε υπόψη μας: ο μαθητής γνωρίζει και απαντάει σωστά ή (=προσθετική αρχή) ο μαθητής δεν γνωρίζει και απαντάει σωστά. Αυτό σημαίνει δηλαδή πως, με βάση το Θεώρημα ολικής πιθανότητας για το ενδεχόμενο Β, έχουμε:  \(\rm P(B)=P(Α)P(B|A)+P(Α')P(B|A')\) 

Σωστός τρόπος:

Βάσει των όσων αναφέραμε παραπάνω, η σωστή αντιμετώπιση είναι μέσω του τύπου του Bayes:  \(\rm P(A|B)=\frac{P(A)P(B|Α)}{P(Α)P(B|A)+P(Α')P(B|A')}\)    , όπου:
 \(\rm P(A)=p \:\:,\:\: P(A')=1-p \:\:,\:\: P(B|A)=1 \:\:,\:\: P(B|A')=\frac{1}{v} \) 

Αν το παραπάνω παράδειγμα σας ζόρισε λίγο, μην αποθαρρύνεστε. Σκεφτείτε ότι είδαμε αρκετές παγίδες και συζητήσαμε αρκετά πράγματα για αρχή.
Τα πράγματα θα ξεκαθαρίσουν με τη λύση των ασκήσεων που ακολουθούν.

• Σωστό ή Λάθος:
• Έστω ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου A είναι μεγαλύτερη από αυτή του συμπληρώματός του, A' . Τότε η πιθανότητα του A είναι μικρότερη από 0.5.

Λάθος:
\(\rm P(A)>P(A') \Leftrightarrow P(A)>1-P(A) \Leftrightarrow 2P(A)>1 \Leftrightarrow P(A)>0.5\) 

• Έστω ότι για δύο ενδεχόμενα A και B ισχύουν τα ακόλουθα:  \(\rm P(A)=0.7 \: ,\: P(B)=0.4\)   και   \(\rm P(A\cup B)=0.82\)  . Τα δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα αλλά όχι ασυμβίσβαστα.

Σωστό:
Τα δύο ενδεχόμενα δεν είναι ασυμβίβαστα αφού  \(\rm P(A)+P(B)>1\)  άρα  \(\rm P(A\cap B)\neq0\)  .
Τα δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα αφού:
 \(\rm P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0.28=P(A)P(B)\) 

• Έστω ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου A είναι μεγαλύτερη από αυτή του συμπληρώματός του, A' . Τότε η πιθανότητα του A είναι μικρότερη από 0.5.
• Έστω ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου A είναι μεγαλύτερη από αυτή του συμπληρώματός του, A' . Τότε η πιθανότητα του A είναι μικρότερη από 0.5.

• Ένα τμήμα που παρακολουθεί μία Θεματική Ενότητα του ΕΑΠ αποτελείται από 25 φοιτητές: 10 φοιτητές είναι από την Αθήνα, εκ των οποίων 3 άνδρες και 7 γυναίκες, και 15 είναι από την υπόλοιπη χώρα, εκ των οποίων 7 άνδρες και 8 γυναίκες. Οι φοιτητές πρόκειται να υποβληθούν σε μία προφορική εξέταση, χωριστά ο καθένας. Για το λόγο αυτό κατατάσσονται σε τυχαία σειρά, με τρόπο που εξασφαλίζει ότι όλες οι «μεταθέσεις» τους είναι το ίδιο πιθανές.
• (i) Έστω ότι οι δύο φοιτητές που τοποθετούνται πρώτοι στη σειρά είναι γυναίκες. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και οι δύο από την Αθήνα;
• (ii) Έστω ότι η κατάταξη των φοιτητών στη σειρά γίνεται με διαφορετική τυχαία διαδικασία: πρώτα επιλέγεται ο τόπος κατοικίας, με ίση πιθανότητα να επιλεγεί η Αθήνα ή η υπόλοιπη χώρα, στη συνέχεια τοποθετούνται σε τυχαία σειρά όλοι οι φοιτητές από τον επιλεγμένο τόπο και κατόπιν έπονται στη σειρά όλοι οι υπόλοιποι φοιτητές. Έστω ότι οι δύο φοιτητές που τοποθετούνται πρώτοι στη σειρά είναι γυναίκες. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι από την Αθήνα;

• (i)
• (ii)
• (iii)
• (iv)